SEJARAH BILANGAN DAN SISTEM NUMERASI

SEJARAH BILANGAN DAN SISTEM NUMERASI

A.    Sejarah Bilangan

Kata "matematika" diturunkan dari kata Yunani kuno, μάθημα (mathema), yang berarti "mata pelajaran". Pada mulanya sejarah perkembangan matematika berawal dari beberapa bangsa di dunia. Seperti Cina, Babilonia, Mesir, Arab, India dan lain-lain. Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama. Tidak dapat dipungkiri lagi bahwa pendidikan matematika sangat diperlukan dan telah menyatu dalam kehidupan manusia dan merupakan kebutuhan dasar dari setiap lapisan masyarakat, dalam pergaulan hidup sehari-hari. Keperluan bilangan mula-mula sederhana tetapi makin lama makin meningkat.

Tulisan matematika terkuno yang telah ditemukan adalah Plimpton 322 (matematika Babilonia sekitar 1900 SM), Lembaran Matematika Rhind (Matematika Mesir sekitar 2000-1800 SM) dan Lembaran Matematika Moskwa (matematika Mesir sekitar 1890 SM). Semua tulisan itu membahas teorema Pythagoras, yang tampaknya menjadi pengembangan matematika tertua dan paling tersebar luas setelah aritmetika dasar dan geometri.

Selain itu, bermunculan konsep-konsep matematika kuno, seperti di Yunani muncul matematikawan yang memurnikan metode-metode (khususnya melalui pengenalan penalaran deduktif dan kekakuan matematika di dalam pembuktian matematika) dan perluasan pokok matematika. Setelah itu banyak muncul metode-metode matematika dari berbagai wilayah seperti dari  Cina yang membuat sumbangan dini, termasuk notasi posisional. Sistem bilangan Hindu-Arab dan aturan penggunaan operasinya, digunakan hingga kini, mungkin dikembangakan melalui kuliah pada milenium pertama Masehi di dalam matematika India dan telah diteruskan ke Barat melalui matematika Islam. Matematika Islam, pada gilirannya, mengembangkan dan memperluas pengetahuan matematika ke peradaban ini.

Setelah itu konsep matematika pun trus berkembang. Dari zaman kuno melalui Zaman Pertengahan, ledakan kreativitas matematika seringkali diikuti oleh abad-abad kemandekan. Bermula pada abad Renaisans Italia pada abad ke-16, pengembangan matematika baru, berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru, dibuat pada pertumbuhan eksponensial yang berlanjut hingga kini.

            Bilangan adalah suatu konsep dalam matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol atau lambang yang dipakai untuk mewakili sebuah bilangan dinamakan sebagai angka atau lambang bilangan. Konsep bilangan dalam matematika selama bertahun-tahun lamanya sudah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks.

1.      Bilangan Asli

Bilangan Asli merupakan bilangan yang dimulai dari angka satu (1) dengan deret ukur bilangan matematika bertambah satu ke arah kanan.

(1,2,3,4,5,...)

2.      Bilangan Bulat

Bilangan bulat yaitu terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...)

3. Bilangan Positif

Bilangan Positif adalah bilangan yang berada pada deret ukur garis bilangan yang dimulai dari Nol ke arah kanan tanpa batas {0,1,2,3,...} juga meliputi angka dibelakang koma {(0,1), (0,2), (0,3), ...} dan seterusnya.

4. Bilangan Negatif

Bilangan Negatif adalah negasi atau kebalikan dari bilangan positif, yaitu bilangan yang berada pada deret ukur garis bilangan yang dimulai dari -1 ke arah kiri tanpa batas {-1, -2, -3, -4, ...} juga meliputi angka di belakang koma {(-1,0), (-1,1), (-1,2), (-1,3), ...} dan seterusnya.

5. Bilangan Riil

Pada matematika, bilangan riil menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,487139… atau 3.2578. Bilangan real meliputi bilangan rasional (24 dan −32/134) dan bilangan irasional (π dan sqrt2).

6. Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b dimana a, b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0 dimana batasan dari bilangan rasional adalah mulai dari selanga (-∞, ∞). Pada bilangan rasional berarti teradapat di dalamnya sudah mencakup bilangan-bilangan lain seperti: bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima dan bilangan-bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional.

7. Bilangan Irasional

Bilangan irasional merupakan bilangan riil yang tidak dapat dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional atau kebalikan dari bilangan rasional.

8. Bilangan Imajiner

Bilangan Imajiner merupakan bilangan yang dinyatakan dengan "i" dan di defenisikan sebagai i = -1 atau i = akar -1 . akar -2 adalah bilangan irasional, tetapi akan -2 merupakan bilangan imajiner karena tidak ada bilangan riil jika di kuadratkan menghasilkan -2.

9. Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk a+bi dimana a dan b adalah bilangn riil dan i adalah bilangan imajiner.

B.     Sistem Numerasi

Sistem numerasi adalah sekumpulan lambang dan aturan pokok untuk menuliskan bilangan. Lambang yang menyatakan suatu bilangan disebut numeral/ lambang bilangan.

Banyaknya suku bangsa di dunia menyebabkan banyaknya sistem numerasi yang berbeda. Oleh karena itu suatu bilangan dapat dinyatakan dengan bermacam-macam lambang, tetapi suatu lambang menunjuk hanya pada satu bilangan.

Beberapa sistem numerasi:

1. Sistem Numerasi Mesir Kuno (±3000 SM)

Bangsa Mesir Kuno telah mengenal alat tulis sederhana menyerupai kertas yang disebut papyrus. Mereka membuat tulisan berbentuk gambar dengan menggunakan sejenis pena sengan tinta berwarna hitam atau merah. Tulisan Mesir Kuno sering diesebut tulisan Hieroglif. Sistem Numerasi Mesir Mesir Kuno bersifat aditif, dimana nilai suatu bilangan merupakan hasil penjumlahan nilai-nilai lambang-lambangnya.         

Lambang dan simbol bilangan Mesir                                                             

Astronished man ( orang astronis )

Scrool ( gulungan surat )

Vertical staff

Heel Bone ( tulang lutut )

Polliwing / burbot ( berudu )

Pointing finger ( telunjuk )

Lotus flower ( bunga teratai )

                                                                       

2. Sistem Numerasi Babylonia (±2000 SM)

Pada masa itu orang menulis angka-angka dengan sepotong kayu pada tablet yang terbuat dari tanah liat (clay tablets). Tulisan atau angka Babilonia sering disebut sebagai tulisan paku karena berbentuk seperti paku. Orang Babilonia menuliskan huruf paku menggunakan tongkat yang berbentuk segitiga yang memanjang (prisma segitiga) dengan cara manekankannya pada lempengan tanah yang masih basah sehingga dihasilkan cekungan segitiga yang meruncing menyerupai gambar paku. Pertama kali orang yang mengenal bilangan 0 (nol) adalah Babylonian.

3. Sistem Numerasi Yunani Kuno (±600 SM)

Bangsa Yunani telah mengenal huruf dan angka yang ditandai dengan tulisan-tulisan bangsa Yunani pada kulit kayu atau logam sehingga bentuk tulisannya pun terlihat kaku dan kuat.

Ada 2 macam:

·           S.N. Yunani kuno attic

Dilambangkan sederhana, dimana angka satu sampai empat dilambangkan dengan lambang tongkat (l, ll, …).

·

4. Sistem Numerasi Maya (±300 SM)

Tulisan atau angka yang dekembangkan bangsa Maya bentuknya berupa bulatan lingkaran kecil dan garis-garis. Alat tulis yang diapakai yaitu tongkat yang penampangnya lindris (bulat).

Berbasis 20 dan ditulis secara tegak. Suku bangsa Maya sudah mengenal bilangan tak hingga.

            Contoh: menulis 258.458 dalam bilangan Maya

                                    1(20)⁴  = 160.000

                                    12(20)³=  96.000

                                    6(20)² =     2.400

                                    2(20)¹ =          40

                                  18(20)⁰ =          18  +

                                                  258.458                           

5. Sistem Numerasi Cina (±200 SM)

Bangsa Cina menuliskan angka-angkanya menggunakan alat tulis yang dinamakan pit yang bentuknya menyerupai kuas. Tulisannya berbentuk gambar atau piktografi yang mempunyai nilai seni tinggi.

6. Sistem Numerasi Jepang-Cina (±200 SM)

7. Sistem Numerasi Romawi (±100 SM)

Bangsa Romawi menggunakan angka-angka untuk perhitungan-      perhitungannya. Lambang bilangan Romawi ditulis menggunakan huruf besar yang sejalan dengan pemikiran orang-orang Yunani. Pada zaman dahulu, orang Romawi Kuno menggunakan penomeran tersendiri yang berbeda dengan sistem penomeran pada jaman sekarang. Angka romawi hanya terdiri dari 7 nomor dengan simbol huruf  tertentu di mana setiap huruf melangbangkan/memiliki arti angka tertentu.

I =1, I disebut UNUS

V =5 , V disebut QUINQUE

X =10, X disebut DECEM

L =50, L disebut QUINQUAGINTA

C =100, C disebut CENTUM

M =1000

Persamaannya dengan sistem numerasi hindu arab adalah sama-sama menggunakan basis sepuluh.

Perbedaan dengan sistem numerasi hindu arab adalah

• Sistem numerasi hindu arab menggunakan sistem nilai tempat
• Sistem numerasi romawi tidak menggunakan sistem nilai tempat

4 prinsip yang digunakan

1)      Pengulangan

Angka yang boleh diulang adalah I , X ,C , M ( tidak boleh diulang lebih dari 3x ).

Contoh :          20 = XX , 3= III 

4≠IIII tetapi 4=IV

100≠ LL tetapi 100=C

2)      Penjumlahan

Jika suatu angka diikuti oleh angka yang lebih kecil, maka nilai angka yang lebih kecil menambah nilai angka sebelumnya .

Yang boleh mengikuti adalah angka I, V, X, L , C , D )

Contoh :          VI =6             

XI=11

MD=1.500

3)      Pengurangan

Jika angka yang lebih kecil mendahului nilai angka yang lebih besar, maka nilai angka yang lebih kecil mengurangi nilai angka yang lebih besar

Contoh : IX =9, CM =900

49≠IL tetapi 49=XLIX

999≠IM tetapi 999= CMXCIX

4)      Perkalian

Dengan menambahkan tanda strip ( ¯ ), dibaca bar diatas angka romawi maka akan menambah nilai angka tersebut menjadi 1000 x nya .

X= 10.000

D = 500.000.000

8. Sistem Numerasi Hindu-Arab (±300SM- 750 M)

Sistem Hindu-Arab mengalami banyak perubahan yang dipengaruhi oleh penggunaannya di Babilonia dan Yunani. Baru sekitar tahun 750 sistem Hindu-Arab berkembang di Bagdad. Bukti sejarah hal ini tertulis dalam buku karangan matematisi arab yang bernama Al-      Khawarizmi yang berjudul Liber Algorismi De Numero Indorum.

            Sistem numerasi Hindu-Arab ini juga disebut dengan sistem numerasi decimal (Ruseffendi, 1984). Dan menurut Troutman & Lichtenberg (1991) sistem numerasi Hindu-Arab ini mempunyai karakteristik:

      (1)  Menggunakan sepuluh macam angka yaitu 0 sampai dengan 9;

      (2)  Menggunakan sistem bilangan dasar sepuluh.

      (3)  Menggunakan sistem nilai tempat.

(4)  Menggunakan sistem penjumlahan dan perkalian.

Angka merupakan lambang bilangan Hindu-Arab

Sifat-sifat:

·      Menggunakan 10 angka / digit yaitu 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

·      Menggunakan sistem bilangan dasar sepuluh. Artinya setiap sepuluh satuan dikelompokkan menjadi satu puluhan, setiap sepuluh puluhan menjadi satu ratusan, dan seterusnya.

·      Bilangan-bilangan yang lebih besar daripada 9 dinyatakan sebagai bentuk suku-suku yang merupakan kelipatan dari perpangkatan 10.

Antar suku dipisahkan oleh tanda plus ( + ).

Misalnya :  10 = 1x10¹+0x10⁰

      205= 2x10²+0x10⁰+5x10⁰

·      Menggunakan aturan tempat

Contoh: 1.234

1= ribuan

2= ratusan

3= puluhan

4= satuan

Beberapa konsep dalam sistem numerasi:

1. Aturan Aditif

Tidak menggunakan aturan tempat dan nilai dari suatu lambang didapat dari menjumlah nilai lambang-lambang pokok. Simbolnya sama nilainya sama dimanapun letaknya.

2. Aturan pengelompokan sederhana

Jika lambang yang digunakan mempunyai nilai-nilai n⁰, n¹, n²,… dan mempunyai aturan aditif

3. Aturan tempat

Jika lambang-lambang yang sama tetapi tempatnya beda mempunyai nilai yang berbeda

4. Aturan Multiplikatif

Jika mempunyai suatu basis (misal b), maka mempunyai lambang-lambang bilangan 0,1,2,3,..,b-1 dan mempunyai lambang untuk b², b³, b⁴,.. serta mempunyai aturan tempat.